UNIDAD 4.

UNIDAD ACADÉMICA DE INGENIERÍA 

INGENIERO CIVIL 

GRADO: 2º GRUPO: 401

        

 UNIDAD DE APRENDIZAJE:

MÉTODOS NUMÉRICOS

DOCENTE:

LORENA ALONSO GUZMAN

TEMA: SECUENCIA 4°

                                    

                       ALUMNO: SAMUEL SANTOS MORENO

TURNO: MATUTINO

     CHILPANCINGO DE LOS BRAVOS. GRO; A, 11 DE JUNIO DEL 2018

I. INDICE DE CONTENIDO

Contenido

I. Introducción

2. Integración y diferenciación numérica

3. Método del trapezoidal

4. Ejercicios

5. Métodos de newton-cotes

6. Método trapezoidal compuesto

7. Método de Simpson 1/3

8. Regla de Simpson 3/8

9. Cuadratura de Gauss

9.1. Formula de cuadratura de Gauss con dos puntos

10. Diferenciación numérica

11. conclusión

12. Bibliografía

I. INTRODUCCIÓN

En esta competencia se abordarán los temas clásicos de integración definida y de evaluación de derivadas en algún punto, por medio de técnicas numéricas. Para ello se utilizarán procesos finitos, en los que, a diferencia de los métodos analíticos, donde el concepto de límite es central y por tanto los procesos infinitos- se manejan conjuntos de puntos discretos y haremos pasar por ellos o entre ellos un polinomio, para después integrar o derivar dicho polinomio.

Ya que son números básicos, para escribir en los programas y resolverlos en una computadora y usar correctamente el software existente para dichos métodos. El análisis numérico trata de diseñar métodos para “aproximar” de una manera eficiente las soluciones de problemas expresados matemáticamente.

En la mayoría de los casos, sin embargo, no se puede utilizar esta fórmula, ya que no se conoce dicha primitiva. Es posible, por ejemplo, que no se conozca la expresión matemática de la función f, sino solo sus valores en determinados puntos. Pero también hay funciones (de apariencia sencilla) para las que se puede demostrar que no tienen ninguna primitiva que pueda escribirse en términos de funciones.

La integración numérica es una herramienta de las matemáticas que proporciona fórmulas y técnicas para calcular aproximaciones de integrales definidas. Gracias a ella se pueden calcular, aunque sea de forma aproximada, valores de integrales definidas que no pueden calcularse analíticamente y, sobre todo, se puede realizar ese cálculo en un ordenador.

El objetivo principal de Integración y diferenciación numérica es como encontrar soluciones “aproximadas” a problemas complejos utilizando sólo las operaciones, se requiere de una secuencia de operaciones algebraicas y lógicas que producen La aproximación al problema matemático.

Para quedar en la nueva rotación

x0= a

xn= b

2)     

se aproxima eje x por un polinomio pn (x) y se integra para tener la aproximación de I. 

3. Método del trapezoidal

en el caso de n=1 el intervalo de integración [ a, b] queda tal cual:

x0=a

xi=b,

la aproximación de f(x) es una línea recta y la aproximación o la integral es el área del trapezoide bajo esta línea recta.

Procedimientos.

Actividades  

a) 

xo= 0

xi=5

n=6

 h= 5/6= 1

Ejercicio

F(x) = e^2x

PARA DOS PUNTOS

X0=1.1

h= 0.1

X0+h=1

X0+2h=1.3

INTRODUCCIÓN

La integración numérica es una herramienta esencial que se usa en la ciencia y en la ingeniería para obtener valores aproximados de integrales definidas que no pueden calcularse analíticamente.

Para quedar en la nueva notación 𝑥0 = 𝑎 y 𝑥𝑛 = 𝑏

2. Se aproxima 𝑓(𝑥) por un polinomio de grado n; 𝑃𝑛(𝑥) y se integra para obtener la aproximación de I.

Es evidente que se obtendrán valores diferentes de I para distintos valores de n, como se muestra a continuación.

MÉTODO TRAPEZOIDAL

En el caso de n = 1, el intervalo de integración [a, b] queda tal cual y 𝑥0 = 𝑎, 𝑥1 = 𝑏; la aproximación polinomial de f(x) es una línea recta (un polinomio de primer grado p(x)) y la aproximación a la integral es el área de trapezoide bajo esta línea recta, como se ve en la figura. Este método de integración se llama regla trapezoidal.

6. MÉTODO TRAPEZOIDAL COMPUESTO

En vez de aproximar la integral de f(x) en [a, b] por una recta, conviene dividir [a, b] en n subintervalos y aproximar cada uno por un polinomio de primer grado.

Ejemplo: f (x) =x⁴-2x²+x+10

		a	-1
		b	4
		n	1
i	XI	XΛ4	2XΛ2	X	10FXI
0	-1	1	-2	-1	10	8
1	0	0	0	0	10	10
2	1	1	-2	1	10	10
3	2	16	-8	2	10	20
4	3	81	-18	3	10	76
						23
5	4	256	-32	4	10	8	239

Se aproxima f(x) con una parábola [un polinomio de segundo grado pix)], y la aproximación a la integral será el área bajo el segmento de parábola comprendida entre f(xo) y f(x2). Esto es:

Con la regla de Simpson 3/8 integre: 𝑓 𝑥 = 0.2 + 25𝑥 − 200𝑥² + 675𝑥³ − 900𝑥⁴ + 400𝑥⁵, desde a= 0 hasta b= 0.8, con n=2 y n=3, este ejercicio está resuelto para n=3

Úsela junto con la regla de Simpson 1/3 con la finalidad de integrar la misma función en cinco segmentos.

Una sola aplicación de la regla de Simpson 3/8 requiere cuatro puntos equidistantes 𝑥0 = f(0)=0.2

 𝑥1 = 𝑓 0.2667 = 1.432724

𝑥2 = 𝑓 0.5333 = 3.487177

𝑥3 = 𝑓 0.8 =0.232

DONDE SE HAN CALCULADO LOS VALORES Wi Y Z, EN LA TABLA, LA CUAL DA VALORES HASTA PARA SEIS PUNTOS.

9.1. FORMULA DE CUADRATURA DE GAUSS CON DOS PUNTOS:

Esta simple formula es exacta si F es un polinomio de grado menor o igual a tres. Para otra f es una aproximación equivalente a sustituir f con un polinomio de grado tres.

10. DIFERENCIACIÓN NUMÉRICA

La derivada de una función tiene muchas aplicaciones, entre las cuáles esta la determinación de la velocidad instantánea de una partícula o móvil a partir de su función de posición. Este proceso es en ocasiones algo muy sencillo cuando se cuenta con dicha función, pero cuando se requiere solucionar el mismo problema con un conjunto de datos discretos y no con su función, el procedimiento no puede ser llevado de igual manera, es decir, el cálculo no nos da una solución directa, por lo tanto, se debe recurrir a otro tipo de análisis.

Notaremos la aproximación a la derivada de una función f como f’

Nota: Esta fórmula, aunque sencilla no tiene un comportamiento estable, ya que para funciones lineales puede llegar a ser exacta, no siendo así para funciones más generales. Pero sin duda alguna, es un buen punto de partida para el calculo de la derivada de una función, además hay que considerar que en algunos casos es la única opción con que se cuenta.

LA TABLA A CONTINUACIÓN RESUME LAS FÓRMULAS PARA APROXIMACIÓN DE LAS DERIVADAS.

LA TABLA A CONTINUACIÓN RESUME LAS FÓRMULAS PARA APROXIMACIÓN DE LAS DERIVADAS.

SEGUNDA DERIVADA 

LA TABLA A CONTINUACIÓN RESUME LAS FÓRMULAS PARA APROXIMACIÓN DE LAS DERIVADAS

EJEMPLO: Aproximar la primera derivada de la función 𝑓 𝑥 = 𝑒^2𝑥, con todas las fórmulas que se encuentran en las tablas para un X0= 1.1 y h=0.1, use el hecho de que f’(1.1)=18.050, para el cálculo del error absoluto

Solución:

Se requieren los valores de:

𝑓(𝑥0), 𝑓 𝑥0 + ℎ 𝑦 𝑓 𝑥0 + 2ℎ

𝑓(𝑥0):𝑓 1.1 = 9.025

𝑓 𝑥0 + ℎ :𝑓 1.2 = 11.023

𝑓 𝑥0 + 2ℎ :𝑓 1.3 = 13.464

Usando las fórmulas de diferencias finitas progresivas:

11. CONCLUSIÓN

En estas notas hemos discutido algunos métodos clásicos para aproximar integrales, así como algunas de las técnicas de integración desarrollados durante los últimos años: aproximaciones analíticas, integración numérica, métodos trapezoidales de integración y diferenciación numérica, la elección depende, por supuesto, del tipo de información que se requiera en cada aplicación específica.

Los métodos de Simpson 1/3 son bastante flexibles en relación con los otros métodos, pero pueden llegar a tener un costo computacional muy alto. Probablemente la mejor estrategia en una aplicación concreta consista en combinar varios de los métodos revisados en estas notas. Es frecuente, por ejemplo, que la aproximación normal asintótica a la distribución final del parámetro de interés sugiera formas que pueden ser utilizadas como distribuciones de muestreo por importancia para la fórmula de cuadratura de Gauss, o bien como distribuciones de transición para el algoritmo de diferenciación numérica.

En términos generales, las técnicas aquí discutidas serán más eficientes y darán resultados más precisos en la medida en que la aproximación normal asintótica a la distribución final sea más adecuada. Es por esta razón que en la mayoría de los casos resulto es conveniente trabajar en términos de una Re parametrización del modelo, de manera que cada uno de los nuevos parámetros tome valores en toda su distribución final sea aproximadamente normal. En el caso de algunos procedimientos, tales como las reglas Simpson 3/8, de integración numérica o el método trapezoidal compuesto, son de gran valor para utilizarlo en los procedimientos. también es importante que la correlación final entre los nuevos parámetros no sea muy alta.

Finalmente, cabe señalar que las nuevas técnicas como las de reglas Simpson 3/8, de integración numérica ha permitido el desarrollo de software para analizar modelos cada vez más complejos. 

12. BIBLIOGRAFÍA

-APUNTES DEL CURSO DE MÉTODOS NUMÉRICOS 2018, PROFESORA LORENA ALONSO GUZMÁN.