UNIDAD ACADÉMICA DE
INGENIERO CIVIL
GRADO: 2º GRUPO: 401
UNIDAD DE APRENDIZAJE:
MÉTODOS NUMÉRICOS
DOCENTE:
LORENA ALONSO GUZMAN
TEMA: COMPETENCIA 2°
ALUMNO: SAMUEL SANTOS
MORENO
TURNO: MATUTINO
CHILPANCINGO DE LOS BRAVOS. GRO; A, 28 DE MAYO
DEL 2018
ÍNDICE DE
CONTENIDO
Contenido
1. Introducción
2. Sistema de
ecuaciones no lineales
2.1. Métodos
cerrados
2.2. Métodos
abiertos
3. Métodos iterativos
3.1. Raíces de funciones
4. Método del punto fijo
4.1. Método de
interacción del punto fijo
4.2. Descripción
del método
4.3. Algoritmo para iteración de punto fijo
5. Método de newton-Raphson
5.1 Procedimiento
del método de newton
6. Método de la secante
7. Método de la bisección
8. Método del gradiente
9. Algoritmo
10. Actividades y ejercicios
11. Conclusión
12. Bibliografía
1. INTRODUCCIÓN
En esta secuencia II se mostrará la importancia que tiene
los métodos numéricos en la sociedad, los cuales son aptos
para entender esquemas numéricos a fin de resolver problemas matemáticos, de
ingeniería y científicos en una computadora, de gran jerarquía para la humanidad ya que por medio de
ello se han visto beneficiados los comercios nacionales e internacionales.
Ya que son numéros básicos, para escribir en los programas
y resolverlos en una computadora y usar correctamente el software existente
para dichos métodos. El análisis numérico trata de diseñar métodos para
“aproximar” de una manera eficiente las soluciones de problemas expresados
matemáticamente.
Los métodos numéricos son números
que los seres humanos han ido construyendo a través del tiempo para superar las
diferentes barreras naturales con las que se han encontrado y poder así hacer
uso de los mismos con la finalidad de aplicar
las Matemáticas a situaciones del mundo real, nos encontramos a menudo con
problemas que no pueden ser resueltos analíticamente o de manera exacta y cuya
solución debe ser abordada con ayuda de algún procedimiento numérico.
Las
características de los métodos numéricos están directamente atadas al número con
el cual fueron identificado.
Los métodos numéricos pueden clasificarse de diferentes
tipos, de acuerdo a diversos conceptos como el tipo de materias utilizado, en las
matemáticas, el sistema de ecuaciones no lineales predominante a operaciones
utilizado, el uso de métodos, la ubicación de reducción por el método de Gauss.
El objetivo
principal del análisis numérico es encontrar soluciones “aproximadas” a
problemas complejos utilizando sólo las operaciones, se requiere de una
secuencia de operaciones algebraicas y lógicas que producen La aproximación al
problema matemático.
Es encontrar
soluciones “aproximadas” a problemas complejos utilizando sólo las operaciones
más simples de la aritmética. El conocimiento y la comprensión son
prerrequisitos para la aplicación eficaz de cualquier herramienta.
2. SISTEMA DE ECUACIONES NO LINEALES
Los sistemas de ecuaciones no lineales
son pesados y complejos, requieren un volumen importante de cálculo y el éxito
depende tanto del método elegido como de los problemas numéricos involucrados y
la habilidad del analista.
Una ecuación no lineal la
representaremos genéricamente en la forma f(x) = 0. Observe que lo anterior
no quiere decir que la función f(x) sea la función idénticamente nula.
Simplemente es una forma de representar la ecuación a la que nos enfrentemos.
Más concretamente tras la expresión f(x) = 0.
A los valores x* para los que la función
f(x) se anula habitualmente se les denomina raíces (o ceros) de la función. En
general si f(x) admite el valor x*
como raíz, se podrá encontrar un número positivo m y una función.
A las raíces de multiplicidad 1 se las
llama raíces simples. A las de multiplicidad 2 se las designa como raíces
dobles, a las de multiplicidad 3 como raíces triples, Los métodos numéricos que se abordan a
continuación, en general, perderán velocidad de convergencia cuando las raíces
a determinar tengan multiplicidad superior a 1. De aquí la importancia de poder
distinguir entre las raíces simples y las raíces múltiples.
Los métodos para la búsqueda de raíces
de una función generalmente se clasifican:
2.1.
MÉTODOS CERRADOS
Se parte de un intervalo en el que se
sabe que hay al menos una raíz y convergen siempre, método de la Bisección.
2.2. MÉTODOS ABIERTOS
Se parte de una aproximación inicial y
tienen un cierto radio de convergencia. Método del punto fijo, Método de
Newton, Método de la secante.
3.
MÉTODOS ITERATIVOS:
1) Debe distinguirse entre el proceso
iterativo completo y la fórmula de actualización.
2) La verificación del término “Satisfactorio”
del proceso es esencial y debe Anticipar todas las posibles salidas del método
iterativo
3) Debe incluirse test de validación de la
consistencia de datos
Métodos iterativos:
1)
Inicio
2)
Aproximación
inicial
3)
Formula
de actualización
4)
Converge
5)
Fin
3.1 Raíces de funciones
Existen muchos métodos para hallar
raíces de funciones: Métodos cerrados:
1)
Métodos
gráficos
2)
El método de bisección
3)
Método
de la falsa posición Métodos abiertos:
4)
Iteración
simple de punto fijo
5)
Método
de Newton-Raphson
6)
El
método de la secante
7)
Raíces
múltiples
8)
Sistemas
de ecuaciones no lineales
4.
MÉTODO DEL PUNTO FIJO
El método del punto fijo
se le conoce también como método de iteración simple de punto fijo; o,
iteración de un punto por sustitución sucesiva, en el cual se utiliza una
fórmula o expresión matemática para predecir la raíz, la misma que puede
desarrollarse por una iteración simple, de allí su denominación. El método del
punto fijo se le conoce también como método de iteración simple de punto fijo;
o, iteración de un punto por sustitución sucesiva, en el cual se utiliza una
fórmula o expresión matemática para predecir la raíz, la misma que puede
desarrollarse por una iteración simple, de allí su denominación.
El método del punto fijo es un método iterativo que permite
resolver sistemas de ecuaciones no necesariamente lineales.
En particular se puede utilizar para determinar raíces de
una función de la forma f(x), siempre y cuando se cumplan los criterios de
convergencia.
Consiste en obtener una
raíz, o solución, de una ecuación de la forma f(x) = 0, la misma que debe ser
transformada en una ecuación equivalente de punto fijo g(x), de tal forma que
al reordenar la ecuación f(x)=0, “x” se ubique al lado izquierdo de la ecuación
de manera que se defina: x= g(x).
Un punto fijo de una
función, g es un número p tal que g(p)=p. El problema de encontrar las
soluciones de una ecuación f(x)=0 y el de encontrar los puntos fijos de una
función h(x) son equivalentes en el siguiente sentido: dado el problema de
encontrar las soluciones de una ecuación f(x)=0, podemos definir una función g
con un punto fijo p de muchas formas; por ejemplo, f(x)=x-g(x). En forma
inversa, si la función g tiene un punto fijo en, p entonces la función definida
por f(x)=x-g(x) posee un cero en p.
4.1. Método de iteración de punto fijo
1)
Básicamente, consiste en reordenar los
términos de la función.
2)
Se iguala a cero, para que la variable “x”
quede a la izquierda.
3)
x = g(x); xi+1 = g(xi)
4)
Existen dos técnicas:
1- Despejando la variable x
Ø
Ejemplo: f(x)= 3x2 - 4x + 5
Ø
Primero se iguala a cero la función.
Ø
Luego se despeja la variable x .
3X2-4X+5=0
Posteriormente,
dado un valor inicial para la raíz o al asignar una estimación inicial (xl),
del punto fijo xi de “g”, de tal forma que: [xi punto fijo de g si xi= g(xi)].
xn+1 = g(xn). Entonces la ecuación anterior puede usarse para obtener una
aproximación, para k=1, 2, 3, hasta que convergen, y expresada por la formula
iterativa xi+1= g(xi) que generalizando se tiene: xn+1 = g(xn).
Al realizar las
aproximaciones iterativas, es posible establecer el error aproximado, para ello
se calcula usando el error normalizado ( ) el mismo que se sintetiza con la
expresión matemática:
Resumen
1)
x=g(x)
2)
Tantear una raíz
3)
El valor de tanteo será el valor de inicio 𝑥
4)
Una vez que se tiene 𝑥, se evalúa g(x) en 𝑥, denotándose el resultado
de esta evaluación como 𝑥; esto
es g(𝑥) = 𝑥
5)
Caso 1 𝑥 = 𝑥, esto indica que se ha
elegido como valor inicial una raíz y el problema queda concluido.
6)
Caso 2: que 𝑥 ≠ 𝑥, el cual
es el caso más frecuente e indica que 𝑥y 𝑥 son distintos, se procede
a otra evaluación de g(x), ahora en 𝑥,
denotándose el resultado como 𝑥
De lo anterior se puede
concluir que cuando el método converge, el error es proporcional, y menor que
la iteración anterior, por esto se dice que la iteración simple de punto fijo
es linealmente convergente.
4.2. Descripción del método
El método de iteración de punto fijo,
también denominado método de aproximación sucesiva, requiere volver a escribir
la ecuación f(x)=0 en la forma x=g(x)}.
Llamemos x^ a la raíz de f. Supongamos
que existe y es conocida la función g tal que: f(x)=x-g(x)} del dominio.
Procedimiento
El procedimiento empieza con una estimación o conjetura
inicial x, que es mejorada por iteración hasta alcanzar la convergencia. Para
que converja, la derivada (dg/dx)} (dg/dx)} debe ser menor que 1 en magnitud
(al menos para los valores x que se encuentran durante las iteraciones). La
convergencia será establecida mediante el requisito de que el cambio en x de
una iteración a la siguiente no sea mayor en magnitud que alguna pequeña
cantidad.
4.3 Algoritmo
para iteración de punto fijo
1. Se ubica la raíz de f(x)
analizando la gráfica.
2. Se despeja de manera x=g(x).
3. Obtenemos de x=g
4. Resolviendo la desigualdad -1
≤ (x)} ≤ 1 obtenemos el rango de valores en los cuales está el punto fijo
llamado R.
Ecuaciones no lineales, es decir, el cálculo de sus
soluciones o raíces. Nos centraremos en el caso de una ´única ecuación con una
incógnita. En tal situación toda ecuación puede ser escrita como:
f(x) = 0
Siendo f(x) una función real de variable real.
Desde este punto de vista el cálculo de raíces de una ecuación es equivalente
al cálculo de los ceros de una función real dada.
Las ecuaciones no lineales más sencillas son las
polinómicas, es decir del tipo: Pn(x) = 0, siendo Pn(x) un polinomio (en
principio con coeficientes reales) de grado n (con n ≥ 2). Estas ecuaciones
presentan siempre n raíces (Teorema Fundamental del Algebra), si bien ´ ´estas
pueden ser reales o complejas.
Y además es también sencilla la discusión sobre el
número de raíces reales que la ecuación posee en términos de la discriminante
de la misma: ∆ = b 2 − 4ac.
Para polinomios de grado igual o superior a cinco,
el célebre Teorema de Abel establece que no existen fórmulas generales que
permitan la resolución por radicales de las mismas.
Sistemas de ecuaciones no
lineales
Sistema general de ecuaciones
algebraica no lineal simultanea:
F1...fn, son funciones dadas, x1…
xn,..Son incógnitas:
F1… fn son funciones dadas
4.- El lector debe estar al tanto de las
denominadas normas de vectores y matrices puesto que el problema que en una
variable se soluciona con el valor absoluto debe ser tratado mediante normas en
espacios vectoriales de n dimensiones para vectores y matrices.
5.- Estas normas, que usualmente se representan
mediante donde las dobles barras indican norma, el símbolo ° indica el nombre
del vector o la matriz y el subíndice ∗ la norma
específica que se utiliza en el momento.
6.- Se recuerda que se denomina norma sobre Rn a
toda aplicación definida en Rn.
5. MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON
Ø
Es un método de
segundo orden de convergencia cuando se trata de raíces reales no repetidas. Consiste
en un procedimiento que lleva la ecuación f (x) =0 a la forma x = g (Xi)=0,
de modo que g' (x) =0.
Ø
La pendiente de la
tangente a la curva en el punto (X0, 𝑓 X0) es:
Este método es de
orden porque g' (x) =0 y g (Xi)≠ 0que toma valores reales no
negativo.
El objetivo de
este método para estimar la solución de una ecuación F (x)=0 es producir una de
las aproximaciones que se acerquen a la solución (iteraciones). Escogemos el
primer numero x, de la secuencia y luego en circunstancia favorable el método
hace el resto moviéndose paso a paso hacia la raíz.
5.1. PROCEDIMIENTOS
DEL MÉTODO DE NEWTON
1)
Adivine una
primera aproximación a la solución de la ecuación f(x) =0 una grafica de y= f
(x) podría ayudarle a hacerlo.
2)
Use la primera
aproximación para obtener la segunda, para obtener la tercera y así
sucesivamente usando la fórmula:
PROBLEMA
6. MÉTODO
DE LA SECANTE
El método de la secante consiste en aproximar la
derivada f’(x) de la ecuación
Formula de la secante
Para la primera aplicación de la ecuación anterior
e iniciar el proceso iterativo, se requerirán dos valores iniciales: X0 y Xi La
siguiente aproximación, x2 está dada por:
Y así
sucesivamente, hasta que Xi+1 se acerque a cero.
7. MÉTODO
DE LA BISECCIÓN
Se trata de
encontrar los ceros de f(x) = 0. Donde f es una función continua en [a,b] con
f(a) y f(b) con signos diferentes.
De acuerdo con el
teorema del valor medio, existe p E [a,b] tal que f(p) = 0. El método consiste
en dividir a la mitad el intervalo y localizar la mitad que contiene a p. El
proceso se repite hasta la lograr la precisión deseada.
Primera
iteración del algoritmo:
Segunda iteración del algoritmo:
El método de la bisección se requieren dos valores
iniciales para ambos lados de la raíz, y que sus valores funcionales
correspondientes sean de signos opuestos. En este caso, el valor de xM
se obtiene como el punto medio entre x1y xD.
Xm = (x1+xD)/2
Dependiendo de la función que se tenga en
particular, el método de la bisección puede converger ligeramente más rápido o
más lentamente.
En este método después de cada iteración el tamaño del
intervalo se reduce a la mitad; después de n iteraciones, el intervalo original
se habrá reducido 2n veces. Por lo anterior, si el intervalo original es de
tamaño a y el criterio de convergencia aplicado al valor absoluto de la
diferencia de dos consecutivas es, entonces se requerirán n iteraciones, donde
n se calcula con la igualdad de la expresión:
8.
METODO DEL GRADIENTE
El método del gradiente es
conceptualmente simple. Para mejor apreciar esa simplicidad supóngase una
superficie modular como la mencionada en párrafo nnn precedente correspondiente
a la determinación de las raíces, reales o complejas, de un polinomio.
9. Algoritmo
1.
𝑓(𝑥): Función a la cual se le busca una raíz.
2.
Elija
valores iniciales inferior, 𝑥, y superior, 𝑥, que encierren la raíz, de forma tal que la función cambie
de signo en el intervalo. Esto se verifica comprobando que f(𝑥) f(𝑥) < 0.
3.
Una
aproximación de la raíz x, se determina mediante:
4.
Realicé
las siguientes evaluaciones para determinar en qué subintervalo esta la raíz.
a). Sí f(X1) f(Xr)
< 0, entonces la raíz se encuentra dentro del intervalo inferior o
izquierdo. Por lo tanto, haga 𝑥u= 𝑥r y vuelva al paso 2.
b). Sí f(X1) f(Xr)
> 0, entonces la raíz se encuentra dentro del subintervalo superior o
derecho. Por lo tanto, haga 𝑥1= 𝑥u y vuelva al paso 2.
c). Sí f(X1) f(Xu)
= 0, la raíz es igual a 𝑥r termina el cálculo.
Ejemplo:
Determinar el coeficiente de arrastre c
necesario para que un paracaidista de masa m = 68.1 kg tenga una velocidad de
40 m/s después de una caída libre de t = 10 s. Nota: La aceleración de la
gravedad es 9.8 m/𝑆.
Solución
El primer paso del método de bisección
consiste en asignar dos valores iniciales a la incógnita (en este problema, x)
que den valores de f(x) con diferentes signos. los valores vistos en la gráfica
anterior son: X1
=12 y Xu =16.
Por lo tanto, la estimación inicial de
la raíz 𝑥
se encontrará en el punto medio del intervalo:
f(12)*f(14)=(6.067)(1.569)=9.517>0
No hay cambio de signo entre el límite
inferior y el punto medio. En consecuencia, la raíz debe estar localizada entre
14 y 16.
Segunda iteración X1 =14 y Xu =16.
f(14)*f(15)=(1.569)(-0.425)=-0.666<0
hay cambio de signo entre el límite
inferior y el punto medio. En consecuencia, la raíz debe estar localizada entre
14 y 15
tercera iteración 𝑥 =14 y 𝑥 =15.
10. Actividad
en clase y ejercicios
Haga la función en Excel o
Wxmaxima para encontrar la solución de la siguiente ecuación utilizando la
función de bisección:
i
|
Xi
|
Xr
|
Eu
|
Er
|
||
1
|
0
|
1
|
0.2689
|
-1
|
2.7183
|
|
2
|
0
|
0.2689
|
0.2578
|
-1
|
0.0129
|
4.30%
|
3
|
0
|
0.2578
|
0.2578
|
-1
|
1.019x10-3
|
0.12%
|
i
|
Xi
|
xu
|
Xr
|
F (x i)
|
F (Xu)
|
Er
|
1
|
1
|
2
|
-7
|
16
|
||
2
|
1
|
1.3043
|
1.3760
|
-7
|
-1.3357
|
5.12%
|
3
|
1.3760
|
1.3043
|
1.3787
|
0.1520
|
-1.3357
|
0.53%
|
4
|
1.3760
|
1.3687
|
1.3687
|
1.3760
|
-2.2805x10-3
|
0%
|
EJERCICIO
Método falsa posición
X3+2x2+10x-20
i
|
X u
|
X1
|
F
(Xr)
|
Er
|
||||
1
|
1
|
2
|
1.304
|
-7
|
16
|
-16.3347
|
9.343
|
4%
|
2
|
1.304
|
2
|
1.357
|
-1.324
|
16
|
-0.2291
|
0.305
|
1%
|
3
|
1.351
|
2
|
1.366
|
-0.029
|
16
|
-0.0385
|
0.008
|
0%
|
4
|
1.366
|
2
|
1.368
|
-0.038
|
16
|
-0.0006
|
0.00
|
EJERCICIO
Método falsa posición
Ex--x2+3x-2
i
|
X u
|
Xr
|
F (x e )
|
F (Xr)
|
Er
|
||
1
|
1
|
2
|
0.1480
|
2.828
|
1.
6265
|
0.598
|
50%
|
2
|
0.4180
|
2
|
0.2786
|
0.5982
|
0.0476
|
0.079
|
7%
|
3
|
0.2786
|
2
|
0.2598
|
0.0746
|
0.0007
|
0.0089
|
1%
|
4
|
0.2598
|
2
|
0.2577
|
0.008624
|
8.17028
|
0.009
|
0%
|
5
|
0.25788
|
2
|
0.2575
|
0.00097
|
1.0362
|
0.0001
|
EJERCICIO
F (x)=X3+2x2+10x-20
X3+2x2+10x-20=0
X[x2+2x+10]-20=0
11. CONCLUSION
Puedo decir que los métodos
numéricos son un conjunto de numero aproximado entre sí tenemos en cuenta el
error en un número y las cifras significativas a partir de este conocimiento
podemos desarrollar e implementar software personalizados y además de ello,
modificar el cálculo de error con el que trabajemos.
Como se puede apreciar, los
métodos son técnicas mediante las cuales es posible formular problemas
matemáticos, de tal forma que puedan resolverse utilizando operaciones
aritméticas. Los métodos numéricos nos vuelven aptos para entender esquemas
numéricos a fin de resolver problemas matemáticos, de ingeniería y científicos
en una computadora, reducir esquemas numéricos básicos, escribir programas y
resolverlos en una computadora y usar correctamente el software existente para
dichos métodos y no solo aumenta nuestra habilidad para el uso de computadoras,
sino que también amplia la pericia matemática y la comprensión de los
principios científicos básicos, convirtiendo un procedimiento mediante el cual
se obtiene, casi siempre de manera aproximada, la solución de ciertos problemas
realizando cálculos puramente aritméticos y lógicos.
12. BIBLIOGRAFIA:
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