INGENIERIO CIVIL
GRADO: 2º GRUPO: 401
UNIDAD DE APRENDIZAJE:
MÉTODOS
NUMÉRICOS
DOCENTE:
LORENA ALONSO GUZMÁN
SAMUEL SANTOS MORENO
ÍNDICE DE
CONTENIDO
Contenido
1. Introducción
2. Definición
de métodos numéricos
2.1. Aproximación
y errores
2.2. Exactitud
2.3. Precisión
2.4. Incertidumbre
2.5. Errores
humanos
2.6. Serie de
Taylor
3.
Conceptos básicos
3.1. Algoritmos
3.2. Aproximaciones
4.
Tipos de errores
4.1. Error
absoluto
4.2. Error
relativo
4.3. Error
porcentual
4.4. Errores
de redondeo
4.5. Error
de truncamiento
5.
Convergencia
6.
Programas computacionales
7.
Conclusión
8.
Bibliografía
1. INTRODUCCIÓN
Los métodos numéricos vuelven aptos para
entender esquemas numéricos a fin de resolver problemas matemáticos, de
ingeniería y científicos en una computadora, reducir esquemas numéricos
básicos, escribir programas y resolverlos en una computadora y usar
correctamente el software existente para dichos métodos y no solo aumenta
nuestra habilidad para el uso de computadoras sino que también amplia la
pericia matemática y la comprensi6n de los principios científicos básicos.
El análisis numérico trata de diseñar métodos
para “aproximar” de una manera eficiente las soluciones de problemas expresados
matemáticamente.
Al momento de aplicar las Matemáticas a
situaciones del mundo real nos encontramos a menudo con problemas que no pueden
ser resueltos analíticamente o de manera exacta y cuya solución debe ser
abordada con ayuda de algún procedimiento numérico.
El objetivo principal del análisis numérico es
encontrar soluciones “aproximadas” a problemas complejos utilizando sólo las
operaciones más simples de la aritmética se requiere de una secuencia de
operaciones algebraicas y lógicas que producen La aproximación al problema
matemático.
El objetivo principal del análisis numérico es
encontrar soluciones “aproximadas” a problemas complejos utilizando sólo las
operaciones más simples de la aritmética.
OBJETIVO
Es encontrar soluciones “aproximadas” a
problemas complejos utilizando sólo las operaciones más simples de la
aritmética.
Conocer los conceptos básicos de cifras
significativas, exactitud, precisión, incertidumbre, sesgo.
El conocimiento y la comprensión son
prerrequisitos para la aplicación eficaz de cualquier herramienta.
2.
¿QUÉ ES UN MÉTODO NUMÉRICO?
Los
métodos numéricos constituyen técnicas mediante las cuales es posible formular
problemas matemáticos, de tal forma que puedan resolverse utilizando
operaciones aritméticas. En esta edición, se utilizan paquetes como Excel y
Matlab, nueva secciones como método modificado de la falsa posición y la
integración multidimensional
Antecedentes
de los métodos numéricos
Los métodos numéricos se tienen desde los
siglos XIX y XX, utilizando métodos numéricos aproximados. El papiro de Rhind
es el documento matemático más antiguo que se conserva, data unos 200 años a.
c. originario de las civilizaciones egipcias donde aparecen más de 80 problemas
resueltos que trataba de calcular montones de volúmenes y el área de una
circunferencia. En babilonia ya se tenía conocimiento para calcular
aproximadamente raíces cuadradas. En cambio de la antigua Grecia fueron famosos
los trabajos de Arquímedes en el siglo III a. c. El Papiro de Moscú y de Rhind,
escritos de 1850 y 1650 A. de C.
Ambos documentos incluyen ejemplos de cálculos
que implican el manejo de ecuaciones lineales con una y dos incógnitas. Es con
los griegos que aparece por primera vez, en el siglo V A. de C., la matemática
como una ciencia que utiliza el método deductivo como herramienta funda mental
para probar que un resultado es verdadero. A finales del siglo XIX se perfila
la teoría de las series infinita, Principio del siglo XVIII aparece el cálculo
de diferencias finitas.
Con el surgimiento delas computadores digitales
a mediados del siglo XX y su continuo desarrollo, la matemática numérica ha
recibido un fuerte estimulo, ya que la computadora digital ha hecho posible la
aplicación práctica de bastantes métodos numéricos. En la actualidad los
métodos numéricos son un medio para fortalecer la compresión de las
matemáticas, porque profundizan en los temas que de otro modo resultarían
complejos, esto aumenta su capacidad de entendimiento de la materia. Es
importante al momento de realizar estos métodos diferenciar los que es
exactitud y precisión en relación con el error, la exactitud se refiere a que
tan cercano está el valor calculado o medido del valor verdadero, en cambio la
precisión es que tan cercanos se encuentran los valores el uno con el otro.
Los errores numéricos surgen con el uso de
aproximaciones para representar valores o las cantidades en las operaciones
matemáticas. Dando así a los diferentes tipos de error que se pueden surgir
como: inherentes, de redondeo, por truncamiento, absoluto y relativo. Definición
de métodos numéricos, su importancia y por qué
“Son técnicas mediante las cuales es posible formular problemas
matemáticos De tal forma que puedan resolverse usando operaciones aritméticas”
• Los
métodos numéricos se utilizan para:
•
Solución de sistemas de ecuaciones lineales
•
Solución de ecuaciones no lineales y trascendentales
• Encontrar un valor por medio de tablas:
interpolación
•
Encontrar un comportamiento (un modelo) a partir de datos ajustando Una curva: ajuste de curvas
•
Integración numérica de una función • Solución numérica de ecuaciones
diferenciales
2.1.
APROXIMACIÓN
Y ERRORES
2.2.
Exactitud
• Se refiere a la cercanía de un numero o de una medida al
valor verdadero que se supone representa.
Se refiere a qué tan cerca está un valor medido
del valor real.
2.3.
Precisión
• Refiere a qué tan cercano está un valor individual medido o
calculado respecto a los otros
2.4.
Incertidumbre:
Sesgo:
Existe sesgo cuando la ocurrencia de un error
no aparece como un hechoaleatorio (al azar) advirtiéndose que este ocurre en
forma sistemática Es un alejamiento sistemático del valor verdadero a calcular.
Cifras
significativas
1) Todos
los números distintos de cero se consideran significativos. Por ejemplo el número
“376” tiene tres cifras significativas.
2) Los
ceros los serán únicamente en ciertos casos. Por ejemplo, los ceros en el
número “1005” se consideran significativos debido a que definen el tamaño del
número y a que están rodeados de números distintos de ceros (el “1” y el “5”).
Sin embargo, para el número “0.064”, los dos ceros no se consideran
significativos debido a que solo se emplean para definir la ubicación del punto
decimal y no para la precisión de la lectura.
Se define como aquella que aporta información
no ambigua ni superflua acerca de una determinada medida experimental, son
cifras significativas de un numero vienen determinadas por su error. Son cifras
que ocupan una posición igual o superior al orden o posición de error.
• Lectura
• Transmisión
• Transcripción
2.6.
SERIE
DE TAYLOR
Es una aproximación de funciones mediante una
serie de potencias o suma de potencias enteras de polinomios como (x-a)^ ( x-a
)^n llamados términos de la serie, dicha suma se calcula a partir de las
derivadas de la función para un determinado valor o punto { a} a
suficientemente derivable sobre la función y un entorno sobre el cual converja
la serie. A la serie centrada sobre el punto cero, { a=0} a=0, se le denomina
también serie de McLaurin.
Esta aproximación tiene tres ventajas
importantes:
1.- la derivación e integración de una de estas
series se puede realizar término a término, que resultan operaciones triviales;
2.- se puede utilizar para calcular valores
aproximados de funciones;
3.- es posible calcular la optimidad de la
aproximación.
3. CONCEPTOS
BÁSICOS: ALGORITMOS Y APROXIMACIONES.
3.1.
Algoritmos:
Es un conjunto prescrito de
instrucciones o reglas bien definidas, ordenadas y finitas que permite llevar a
cabo una actividad mediante pasos sucesivos que no generen dudas a quien deba
hacer dicha actividad. Dados un estado inicial y una entrada, siguiendo los
pasos sucesivos se llega a un estado final y se obtiene una solución.
3.2.
Aproximaciones
Es una representación inexacta que, sin
embargo, es suficientemente fiel como para ser útil.
Por ejemplo, dado el número 1.3456 vamos
a aproximarlo con dos cifras decimales:
a) por defecto es 1.34
b) por exceso es 1.35
Al dar la aproximación en lugar del
número se comete un error, en el ejemplo anterior los errores que se cometen
son:
a) | 1.3456 - 1.34 | = 0.0056
b) | 1.3456 - 1.35 | = 0.0044
4. TIPOS DE ERRORES:
Los errores numéricos se generan con el
uso de aproximaciones para representar las operaciones y cantidades
matemáticas. Estos incluyen de truncamiento que resultan de representar
aproximadamente un procedimiento matemático exacto, y los errores de redondeo,
que resultan de presentar aproximadamente números exactos. Para los tipos de
errores, la relación entre el resultado exacto o verdadero y el aproximado está
dado por:
E = P*
- P
Bien sea una medida directa (la que da
el aparato) o indirecta (utilizando una fórmula) existe un tratamiento de los
errores de medida.
4.1.
Error absoluto
Es la diferencia entre el valor de la
medida y el valor tomado como exacto. Puede ser positivo o negativo, según si
la medida es superior al valor real o inferior (la resta sale positiva o
negativa). Tiene unidades, las mismas que las de la medida.
Sin embargo, para facilitar el manejo y
el análisis se emplea el error absoluto definido como:
EA = |
P* - P |
4.2.
Error
relativo
Es el cociente (la división) entre el error
absoluto y el valor exacto. Si se multiplica por 100 se obtiene el tanto por
ciento (%) de error. Al igual que el error absoluto puede ser positivo o
negativo (según lo sea el error absoluto) porque puede ser por exceso o por
defecto. No tiene unidades.
ER = | P* - P| / P, si P
=/ 0
El error relativo también se puede multiplicar por el 100% para
expresarlo como:
ERP = ER
x 100
Ejemplo:
Supóngase que se tiene que medir la longitud de
un puente y de un remache, obteniéndose 9 999 y 9 cm, respectivamente. Si los
valores son 10 000 y 10 cm, calcúlese a) el error y b) el error relativo
porcentual de cada caso.
Solución:
a) El error de medición del puente
es:
EA = 10 000 - 9 999 = 1cm
Y para el remache es de
EA = 10 - 9 = 1cm
b) El error relativo porcentual para el puente
es de:
ERP = 1/ 10 000 x 100% = 0.01%
Y para el remache es de
ERP = 1/10 x 100% = 10%
Por lo tanto ambas medidas tiene un erro de 1
cm, el error relativo porcentual del remache es mucho más grande. Se puede
concluir que se ha hecho un buen trabajo en la medida del puente, mientras que
la estimación para el remache deja mucho que desear.
4.3.
Error porcentual
Es
simplemente el error relativo expresado en por ciento (%). También es usual
emplear el valor absoluto en los parámetros anteriores, en cuyo caso se de
dominan respectivamente error absoluto, error relativo absoluto y error
porcentual absoluto.
4.4.
Errores
de redondeo
Se deben a que las computadoras sólo guardan un
número finito de cifras significativas durante un cálculo. Las computadoras
realizan esta función de maneras diferentes. Por ejemplo, si sólo se guardan
siete cifras significativas, la computadora puede almacenar y usar
"pi" como "pi" = 3.141592, omitiendo los términos restantes
y generando un error de redondeo.
Producidos por no utilizar el valor real de un
número en los cálculos, por ejemplo,
Reglas
de Redondeo
Las siguientes reglas dan la pauta a seguir en
el redondeo de números cuando se realizan cálculos a mano.
1.- En el redondeo, se conservan las cifras significativas
y el resto se descarta. El último dígito que se conserva se aumenta en uno si
el primer dígito descartado es mayor de 5. De otra manera se deja igual. Si el
primer digito descartado es 5 o es 5 segundo de ceros. Entonces el último
dígito retenido se incrementa en 1, sólo si es impar.
2.- En la suma y en la resta, el redondeo se
lleva acabo de forma tal que el último dígito en la columna de las milésimas.
3.- Para la multiplicación y para la división
el redondeo es tal que la cantidad de cifras significativas del resultado es
igual al número más pequeño de cifras significativas que contiene la cantidad
en la operación.
4.- Para combinaciones de las operaciones
aritméticas, existen dos casos generales. Se puede sumar o restar el resultado
o de las divisiones.
(Multiplicación o División) +/-
(multiplicación o división).
O también se pueden multiplicar o dividir los
resultados de las sumas y las restas.
Ejemplos:
Los siguientes ejemplos tienen por objeto ilustrar
las reglas de redondeo.
5.6723 -------------------------- 5.67´
3 Cifras Significativas
10.406 ---------------------------- 7.4 4 Cifras Significativas
10.406 ---------------------------- 7.4 2 Cifras Significativas
88.21650 ------------------- 88.216 5 Cifras Significativas
1.25001 -------------------------- 1.3 2 Cifras Significativas
4.5.
Error
de truncamiento.
Son aquellos que resultan al usar una
aproximación en lugar de un procedimiento matemático exacto. Además para
obtener conocimiento de las características
de estos errores se regresa a la formulación matemática usada
ampliamente en los métodos numéricos para expresar Funciones en forma polinomial:
Serie de Taylor
Por ejemplo:
La serie de Taylor provee un medio para
predecir el valor de una función en un punto en términos del valor de la
función y sus derivadas en otro punto.
Un
artículo
Métodos
iterativos.
En matemática computacional, un método
iterativo trata de resolver un problema (como una ecuación o un sistema de
ecuaciones) mediante aproximaciones sucesivas a la solución, empezando desde
una estimación inicial. Esta aproximación contrasta con los métodos directos,
que tratan de resolver el problema de una sola vez (como resolver un sistema de
ecuaciones Ax=b encontrando la inversa de la matriz A). Los métodos iterativos
son útiles para resolver problemas que involucran un número grande de variables
(a veces del orden de millones), donde los métodos directos tendrían un coste
prohibitivo incluso con la potencia del mejor computador disponible.
Puntos fijos atractivos
Si una ecuación puede ponerse en la forma f(x)
= x, y una solución x es un punto fijo atractivo de la función f, entonces
puede empezar con un punto x1 en la base de atracción de x, y sea xn+1 = f(xn)
para n ≥ 1, y la secuencia {xn}n ≥ 1 convergerá a la solución x.
Sistemas lineales
En el caso de un sistema lineal de ecuaciones,
las dos clases principales de métodos iterativos son los métodos iterativos
estacionarios y los más generales métodos del subespacio de Krylov
Métodos iterativos estacionarios
Los métodos iterativos estacionarios resuelven
un sistema lineal con un operador que se aproxima al original; y basándose en
la medida de error (el residuo), desde una ecuación de corrección para la que
se repite este proceso. Mientras que estos métodos son sencillos de derivar,
implementar y analizar, la convergencia normalmente sólo está garantizada para
una clase limitada de matrices.
5. Convergencia
Se entiende por convergencia de un método
numérico la garantía de que, al realizar un buen número de repeticiones
(iteraciones), las aproximaciones obtenidas terminan por acercarse cada vez más
al verdadero valor buscado.
En la medida en la que un método numérico
requiera de un menor número de iteraciones que otro, para acercarse al valor
numérico deseado, se dice que tiene una mayor rapidez de convergencia.
Se entiende por estabilidad de un método
numérico el nivel de garantía de convergencia, y es que algunos métodos
numéricos no siempre convergen y, por el contrario divergen; es decir, se
alejan cada vez más y más del resultado deseado.
En la medida en la que un método numérico, ante
una muy amplia gama de posibilidades de modelado matemático, es más seguro que
converja que otro, entonces se dice que tiene una mayor estabilidad.
Normalmente se puede encontrar métodos que
convergen rápidamente, pero son demasiado inestables y, por el contario,
modelos muy estables, pero de lenta convergencia.
En Métodos numérico la velocidad con la cual
una sucesión converge a su límite es llamada orden de convergencia. Este
concepto es, desde el punto de vista práctico, muy importante si necesitamos
trabajar con secuencias de sucesivas aproximaciones de un método iterativo.
Incluso puede hacer la diferencia entre necesitar diez o un millón de
iteraciones.
En particular, convergencia de orden 1 es
llamada convergencia lineal, la de orden 2 convergencia cuadrática y la
convergencia de orden 3 convergencia cúbica.
6. Programas computacionales
Muchos problemas de cómputo en ingeniería
pueden ser divididos en pedazos de cálculos bien conocidos, como solución de
sistemas de ecuaciones lineales, transformada rápida de Fourier, etc. Por
consecuencia, frecuentemente el programador sólo tiene que escribir una rutina
pequeña (driver) para el problema particular que tenga, porque el software para
resolver las subtareas se encuentra ya disponible. De esta forma la gente no
tiene que reinventar la rueda una y otra vez.
El mejor software para un tipo particular de
problema debería ser adquirido de una compañia comercial, pero para álgebra
lineal y algunos otros cómputo numéricos básicos hay software de calidad gratis
(a través de Netlib).
Netlib (NET LI Brary) es una colección grande
de software, documentos, bases de datos gratis que son de interes para las
comunidades científicas y de métodos numéricos.
Paquetes de software comercial para cómputo
numérico general:
La potencia de Derive es enorme y no resulta
complicado de manejar, máxime teniendo en cuenta la gran cantidad de
posibilidades que ofrece. Es fácil navegar a través de él y consultar la ayuda
online y la tabla de contenidos. El usuario también puede personalizar menús,
barras de herramientas y atajos de teclado.
MATLAB
LabView: Plataforma de cómputo numérico y
simulación con énfasis en sistemas electrónicos empotrados, de gran importancia
en la industria.
MAPLE: Sistema preferido en ambientes
académicos y cuyo núcleo de procesamiento simbólico se incorpora en otros
sistemas comerciales.
MathCAD: Editor de documentos que integra
valiosas capacidades de cómputo numérico y de visualización.
Mathematica: Sofisticado y muy exitoso sistema
de cómputo numérico y simbólico, con grandes capacidades de visualización.
Patran es el mundo más ampliamente utilizado
pre / post procesamiento de software para análisis de elementos finitos(FEA),
que proporciona el modelado de sólidos, el mallado y la configuración de
análisis de MSC Nastran, Marc, ABAQUS, LS-DYNA, ANSYS, y Pam Crash.
Patran proporciona un rico conjunto de
herramientas que simplifican la creación de modelos de análisis listos para
lineal,dinámica no lineal, explícito, térmicas y otros solucionadores de
elementos finitos.
7.
CONCLUSIÓN
Para concluir con este trabajo
puedo decir que los métodos numéricos son dignos de ver, incluso los menos
favorecidos, si nosotros sabemos observarlos y cómo observarlos. El objetivo de
este blog es ayudar a conocer y aprender los aspectos más importantes
relacionados con los métodos numéricos, explicando en lenguaje simple, algunas
de las características de resolver
algunos problemas físicos y eficientes. Desde cualquier punto de vista, la
observación de los métodos es una afición atractiva a lo largo de todo el
mundo.
Como se puede apreciar, los
métodos son técnicas
mediante las cuales es posible formular problemas matemáticos, de tal forma que
puedan resolverse utilizando operaciones aritméticas. Los métodos numéricos pueden
cambiar la vida de los seres humanos, pues significan más que el acceso a un
territorio inicialmente dividido por características muy eficientes, sino que
representan una serie de oportunidades para las sociedades involucradas, ya sea
en el ámbito social, cultural y económico.
Es por eso que los métodos
numéricos se tornan tan importante, esto muestra que las ventajas superan
significativamente a las desventajas, convirtiendo un
procedimiento mediante el cual se obtiene, casi siempre de manera aproximada,
la solución de ciertos problemas realizando cálculos puramente aritméticos y
lógicos.
8.
BIBLIOGRAFÍA
1. Steven C. Chapra, Métodos
Numéricos para Ingenieros, 6ª ed., Mc Graw Hill.
2. Métodos numéricos.
Introducción, aplicaciones y propagación. Antonio Huerta Cerezuelo, Barcelona,
1998, págs. 72-77.
3. Antonio Nieves Hurtado,
Federico C. Domínguez Sánchez, Métodos Numéricos, 3ª ed., CESA.
4. STEVEN C.CHAPRA, RAYMOND P.
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